دستگاه شمارش (مبنا)

    

برای شمارش اشیاء دسته بندی هایی انجام  می شود . معمولی ترین روش برای شمارش اشیاء دسته بندی به صورت یکی ، ده تایی ، صدتایی ، هزارتایی و ... می باشد این نمایش ارزش مکانی اعداد را «دستگاه شمارش دهدهی » می نامند .

در طراحی سیستم های رقمی و رایانه ای و رمز گزاری برنامه ها برای نمایش ارزش مکانی رقم ها از دستگاههای شمارش دیگری هم استفاده می شود ، مانند  دستگاه شمارش دو دویی که یکی ، دوتایی ، چهارتایی ، هشت تایی و .... برای نمایش ارزش مکانی رقم ها استفاده می شود .

مثال: عدد 313 در دستگاه شمارش دهدهی به صورت 3 صدتایی ، ا ده تایی و 3 یکی  می باشد این عدد را به صورت 313 یا ₁₀(313) می نویسیم و می خوانیم « سیصدو سیزده »

صدتایی	ده تایی	یکی
3	1	3

 عدد 1101 در دستگاه شمارش دو دویی به صورت زیر می باشد

هشت تایی	چهارتایی	دوتایی	یکی
1	1	0	1

این عدد را به صورت ₂(1101) می نویسیم و می خوانیم «یک،یک،صفر،یک در مبنای دو»

  مبنا : Base

مبنا پایه و اساسی است که در دستگاههای شمارش  اعداد برای دسته بندی در نظر گرفته می شود .

مثال : یک شرکت دارو سازی برای دسته بندی قرص های تولید شده در نظر دارد هر 10 عدد قرص را در داخل یک بسته قرار دهدد و هر 10 بسته را داخل یک کار تن 100 تایی و ...

پایه و اساسی که در این شرکت دارو سازی برای دسته بندی در نظر گرفته شده است بر مبنای 10 می باشد .

مثال : یک شرکت تولید کننده ی توپ تنیس روی میز برای دسته بندی توپ های تولید شده در نظر دارد هر 6 عدد توپ را در داخل یک بسته قرار دهد و هر  6 بسته را داخل یک کارتن  36 تایی و ...

پایه و اساسی که در این شرکت تولید ی برای دسته بندی در نظر گرفته شده است برمبنای 6 می باشد .

مثال : پایه و اساسی که در ساعت برای زمانبندی استفاده می شود را درنظر بگیرید .

کاربرد ریاضی در زندگی

هر 60 ثانیه برابر یک دقیقه است و هر 60 دقیقه برابر یک ساعت (ثانیه3600 = 60×60)

دانش آموز عزیز : اگر شما یکی از ریاضی دانان بزرگ بودید ، برای زمان چه مبنایی به کار می برید؟ یک شبانه روز در طراحی شما چند ساعت محسوب می شود ؟

این طراحی چه تأثیراتی روی کارهای روز مره مردم می گذارد ؟

مثال: با دسته بندی سه تایی 17 کلید را دسته بندی کنید و نتیجه را  در مبنای سه بنویسید .

نه تایی	سه تایی	یکی
1	2	2

₃(122) = 17

مثال: عددی در مبنای 5 به صورت ₅(214) نوشته شده است . آن عدد کدام است ؟

52 51 50 بیست و پنج تایی پنج تایی یکی 2 1 4

(25×2) +(5×1) + (1×4) =59

:نکته

1- اگر عدد abcde در مبنای x نوشته شده باشد برای نوشتن این عدد در مبنای 10 به صورت زیر عمل می کنیم

x4 x3 x2 x1 x0

x4 x3 x2 x 1 a b c d e

2- در عدد نویسی به مبنای a مجازیم از ارقام  0،1، ....، 1- a  استفاده کنیم .         

مثال :  در مبنای 7 ، از ارقام 0، 1، 2، 3، 4، 5 ،6 می توان استفاده کرد .

3- تبدیل مستقیم مبناها :

مثال : تساوی مقابل را کامل کنید .                                                                 ₈(         ) = ₂(1010)

حل : مراحل انجام کار به ترتیب زیر می باشد .                      ₈ (   ?   ) = ₁₀(    ?    ) = ₂(1010)

ابتدا نمایش عدد ₂(1010) را در مبنای 10 بدست می آوریم ، سپس نمایش عدد 10 را در مبنای 8  می نویسیم .  

برای تبدیل مستقیم مبنا ها روش هایی وجود دارد که تبدیل مبنا ها را به طور مستقیم امکان پذیر   می سازد . برای آشنایی با این روشها به نکات زیر توجه کنید .

نکته: برای تبدیل مستقیم یک عدد از مبنای 2 به مبنای 4 ، عدد را از سمت راست دو رقم دو رقم جدا کنید و دسته ی دو رقمی را به مبنای 10 ببرید . از کنار هم نوشتن اعداد بدست آمده عدد اولیه کاملاً در مبنای 4 نوشته می شود .

مثال : تساوی مقابل را کامل کنید :                                                                 ₄(        ) = ₂(10110)

حل : از تبدیل مستقیم مبنا ها کمک می گیریم .

نکته: برای تبدیل مستقیم یک عدد از مبنای 2 به مبنای 8 عدد داده شده را از سمت راست سه رقم سه رقم جدا کنید و هر دسته ی سه رقمی را به مبنای 10 ببرید . از کنار هم نوشتن اعداد بدست آمده عدد اولیه کاملاً در مبنای 8 نوشته می شود.

مثال : تساوی مقابل را کامل کنید :                                                                    ₈(       ) = ₂(1010)

حل : از تبدیل مستقیم مبنا ها کمک می گیریم .

نکته: برای تبدیل مستقیم یک عدد از مبنای 4 به مبنای 2 هر رقم را به صورت یک عدد  دو رقمی در مبنای 2 بنویسید (اگر نیاز شد سمت چپ عدد هم صفر بگذارید ). از کنار هم نوشتن این اعداد دو رقمی عدد اولیه کاملاً در مبنای 4 نوشته می شود .

مثال : تساوی مقابل را کامل کنید :                                                                       ₂(       ) = ₄(321)

حل : از تبدیل مستقیم مبنا ها کمک می گیریم .

نکته: برای تبدیل مستقیم از مبنای 8 به مبنای 2 هر رقم عدد داده شده را بصورت یک عدد سه رقمی در مبنا 2 بنویسید . (اگر نیاز شد سمت چپ عدد هم صفر بگذارید) از کنار هم نوشتن اعداد بدست آمده عدد اولیه کاملاً در مبنای 2 نوشته می شود .

مثال : تساوی مقابل را کامل کنید :                                                                      ₂(        ) = ₈(327)

حل : از تبدیل مستقیم مبنا ها کمک می گیریم .

4-جمع و تفریق مبناها :

با توجه به اینکه در عدد نویسی a ، مجازیم از ارقام 0و 1و 2و ... و  1 - a استفاده کنیم .

جمع و تفریق مبناها را می توان به صورت مستقیم انجام داد .

1- جمع مبناها

        میدانیم:                                                  ?  = 39 + 156

حل :

	صدتایی	ده تایی	یکی
+	1	5 3	6 9
	1	9	5

حالا با توجه به جدول ارزش مکانی مبنا 2 حاصل جمع مقابل را بدست آورید .                                                                                                           ₂(?) = ₂(11) + ₂(10)

چهارتایی دوتایی یکی  + 1 1 0 1 1 0 1

---

2- تفریق مبناها

           میدانیم:                                                                     264 = 279 - 543

حل :

	صدتایی	ده تایی	یکی
-	5 2	4 7	3 9
	2	6	4

حالا با توجه به جدول ارزش مکانی 2 حاصل تفریق زیر را بدست آورید ؟          ₂ (?) = ₂(111)-₂(1011)

	هشت تایی	چهارتایی	دوتایی	یکی
-	1	0 1	1 1	1 1
	0	1	0	0

توضیح اینکه 1 عدد هشت تایی برابر است با 2 عدد چهارتایی

تست:

1_عدد 59 در مبنای 3 برابر است با :

د ) 3(2012)

ج) 3(210)

ب)  3(212)

الف) 3(2102)

2_عددی در مبنای 4 به صورت 3ba و در مبنای 5 به صورت 2ab نوشته شده است ، a,b کدام است ؟

3_بزرگترین عدد سه رقمی در مبنای 5 کدام گزینه می باشد؟

الف) ₅(444)               ب) ₅(423)                    ج) ₅(555)                  د) ₅(543)

4_در عبارت زیر مقدار x برابر است با :  

    (۱۰۰۱۱)_۲=(۱۰۳)_x

د) 8

ج) 4

ب) 10

الف) 5

 

5_مایش عدد  1+ 2⁴ + 2⁵ در مبنای 2 کدام است ؟

د) 2(110001)

ج) 2(10101)

ب) 2(11001)

الف) 2(10011)