رابطه ی فیثاغورس

.:: رابطه ی فیثاغورس ::.

(Pythagorean relation)

در هر مثلث قائم الزاویه مربع وتر برابر است با مجموع مربعات دو ضلع دیگر.

وتر مثلث قائم الزاویه: در هر مثلث قائم الزاویه، ضلع روبرو به زاویه ی قائمه وتر نام دارد . 

 BC وتر مثلث قائم الزاویه ی    است.

اعداد فیثاغورسی:

اگر در مثلثی مربع بزرگترین ضلع با مجموع مربعات دو ضلع دیگر برابر باشد ،آن مثلث قائم الزاویه است. آن دسته از اعداد طبیعی که مربع یکی برابر مجموع مربعات دو تای دیگر باشد، را اعداد فیثاغورسی می نامند. این اعداد    می توانند اندازه های اضلاع یک مثلث قائم الزاویه باشند.

مانند: (5 و 4 و 3) ، (13 و 12 و 5) ، (17 و 15 و 8) و ..............

نکته:

1-

í در مثلث قائم الزاویه, ضلع مقابل به زاویه 30 درجه, نصف وتر و ضلع مقابل به زوایه 60درجه, برابر اندازه وتر می باشد.

---

2-

í در مثلث قائم الزاویه ضلع مقابل به زاویه 45 درجه برابر اندازه وتر می باشد.

---

3- با توجه به شکل های مقابل, تساوی زیر را می توان نوشت:

---

4-

 

---

5-

---

6-

í در مثلث قائم الزاویه, میانه وارد بر وتر نصف وتر است.

---

7-

í حاصلضرب دو ضلع زاویه قائمه برابر است با حاصلضرب وتر در ارتفاع وارد بر وتر.

---

8-

í اگر یک زاویه از مثلث قائمه الزاویه ای ˚15 یا ˚75 باشد, ارتفاع وارد بر وتر ربع وتر است.

---

9-

قطر مکعب مستطیلی به ابعاد a و b و c برابر است با

---

10-

مثال ها

در هر یک از شکلهای زیر مقادیر مجهول را بیابید.

تصویر 1:

حل:

---

تصویر 2:

حل:

---

تصویر 3:

حل:

---

تصویر 4:

حل:

---

تصویر 5:

حل:

---

تصویر 6:

حل:

---

 تصویر 7:

حل:

 

اکنون در مثلث قائم الزاویه داریم:

---

تصویر 8:

حل:

ضلع مقابل به زاویه ˚45 در مثلث قائم الزاویه برابر وتر می باشد.

ضلع مقابل به زاویه ˚30 در مثلث قائم الزاویه, برابر نصف وتر است. بنابر این AC دو برابر AH می باشد.

2=1×2=AC    

ضلع مقابل به زاویه ˚60 در مثلث قائم الزاویه, برابر وتر می باشد، بنابراین HC برابر است با :

---

تصویر 9:

AB=x           

حل:

 

---

تصویر10:

حل:

 

تست:

1.مساحت نیم دایره ها S_۳,S_۲,S_۱ نامیده شده است. با توجه به رابطه فیثاغورس در مثلث قائم الزاویه, چه رابطه ای بین مساحت نیم دایره ها برقرار است؟

ب)	الف)
د)	ج)

---

2.محیط یک لوزی که رأس های آن وسط های طول و عرض مستطیلی به طول 12 و عرض 9 باشد, برابر است با:

د) 24

ج) 26

ب) 28

الف) 30

---

3.در یک مثلث قائم الزاویه اندازه ی وتر C و ضلع a دو عدد صحیح متوالی هستند. مربع ضلع دیگر برابر است با:

د) c+a

ج) c-a

ب)

الف) c.a

---

4.در شکل مقابل مثلث ABC قائم الزاویه متساوی الساقین است مساحت مربع چند برابر مساحت مثلث است؟

ب) 4	الف) 3
د)	ج) 2

---

5.در شکل مقابل شش ضلعی منتظم است اگر محیط دایره برابر p۴ باشد، مقدار AC کدام است؟ 

د) 14/3

ج)

ب)

الف) 4