دانش ریاضی
ریاضیات راه توسعهدانش ریاضی
ریاضیات راه توسعهمقسوم علیه _مضرب
مقسوم علیه
مقسوم علیه های یک عدد: هر عدد طبیعی بر تعدادی از عددها بخشپذیر است که مقسوم علیه های آن عدد می باشند.
مثال: عدد 20 بر عددهای 1 , 2, 4 , 5 , 10 , 20 بخشپذیر است، پس:
{20, 10, 5, 4, 2, 1} = مجموعه مقسوم علیه های عدد 20
عدد اول ( Prime number ):
هر عدد طبیعی بزرگتر از یک که غیر از خودش و یک مقسوم علیه دیگری نداشته باشد ، عدد اول نامیده می شود. 2, 3 , 5 , 7 اعداد اول کوچکتر از 10 هستند.
با توجه به شکل های بالا می توان گفت که عدد 5 عددی اول و عددهای 10 , 12 , 20 عدد اول نمی باشند.
مقسوم علیه های اول یک عدد:
مقسوم علیه های اول یک عدد را به دو روش می توانیم بدست آوریم:
الف) تجزیه درختی:
مثال:
|
{2,3,5} = مقسوم علیه های اول عدد 30 |
{2,3,5,11} = مقسوم علیه های اول عدد 330 |
ب) تجزیه خطی:
مثال:
{2,3,5} = مقسوم علیه های اول عدد 60
توضیح: در این روش برای تجزیه یک عدد از تقسیم آن عدد به عددهای اول کمک می گیریم.
نمودار مقسوم علیه های یک عدد:
شکل دقیقی است که به کمک آن مقسوم علیه های یک عدد را مشخص می کنند.
برای رسم نمودار مقسوم علیه های یک عدد به صورت زیر عمل می کنیم.
1- مقسوم علیه های اول عدد را بدست می آوریم.
2- به ازای هر مقسوم علیه اول یک یا یک دسته خطوط موازی رسم می کنیم.
3- عدد را بر مقسوم علیه های اول تقسیم کرده تا به کوچکترین مقسوم علیه هر عدد برسیم.
مثال:
مضرب (multiple):
مضرب در لغت به معنی مکانی است که در آن خیمه بر پا کنند و در ریاضی مضربهای طبیعی یک عدد، از ضرب آن عدد در عددهای 1 , 2 , 3 , ... بدست می آیند.
مجموعه مضربهای عدد 5 عبارت است از { ... , 15, 10 , 5 }
مجموعه مضربهای عدد 8 عبارت است از { ... , 24, 16 , 8 }
بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد (greatest common divisor)
دو عدد طبیعی در نظر بگیرید . بزرگترین عددی که هر دو عدد بر آن بخشپذیر باشند ، را بزرگترین مقسوم علیه مشترک آن دو عدد می نامند.
بزرگترین مقسوم علیه مشترک را به اختصار « ب . م . م » می گویند و برای نمایش آن از علامت «П » استفاده می شود.
مثال:
بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد 20 و 12 برابر 4 است.
به عبارت دیگر بزرگترین عددی که دو عدد 20 و 12 بر آن بخشپذیر باشد ، 4 است.
روش نردبانی (ladder method)
شکل دقیقی است مانند نردبان که به کمک آن بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد را مشخص می کنند.
مثال:
کوچکترین مضرب مشترک (least common multiple):
دو عدد در نظر بگیرید. مضرب های آن ها را بنویسید. از میان آن ها کوچکترین عددی را که مضرب هر دو عدد باشد را « کوچکترین مضرب مشترک » آن دو عدد می نامند.
کوچکترین مضرب مشترک دو عدد
را به اختصار
« ک . م . م » می گویند.
کوچکترین مضرب مشترک دو عدد 6 و 9 برابر 18 است.
به عبارت دیگر: 18 کوچکترین عددی است که مضرب هر دو عدد 6 و 9 است.
روش تعیین کوچکترین مضرب مشترک:
برای تعیین کوچک ترین مضرب مشترک دو عدد به صورت زیر عمل می کنیم:
* ابتدا بزرگترین مقسوم علیه مشترک آنها را پیدا می کنیم.
* یکی از دو عدد را بر بزرگترین مقسوم علیه مشترک به دست آمده تقسیم می کنیم.
* خارج قسمت را در عدد دیگر ضرب می کنیم.
عدد حاصل ، کوچکترین مضرب مشترک دو عدد مفروض است.
محاسبه کوچک ترین مضرب مشترک دو عدد را می توانیم به طور خلاصه به صورت زیر بنویسیم:
نکته:
1- کوچکترین مقسوم علیه هر عدد 1 است و بزرگترین مقسوم علیه هر عدد خودش می باشد.
2- کوچکترین مضرب هر عدد خود عدد و بزرگترین مضرب هر عدد مشخص نمی باشد.
3- به اعداد اولی که اختلاف آن ها 2 باشد ، اعداد اول دوقلو می گویند مثال : 11 , 13
4- اعدادی که بیشتر از دو مقسوم علیه داشته باشند ، اعداد مرکب نامیده می شوند.
5- برای یافتن ب . م . م و ک . م . م دو عدد می توانیم از راه تجزیه استفاده کنیم.
مراحل انجام کار به صورت زیر می باشد:
* ابتدا هر دو عدد را به حاصل ضرب عوامل اول تجزیه می کنیم.
* ب . م . م عبارت است از : حاصل ضرب عوامل مشترک با کمترین توان
* ک . م . م عبارت است از : حاصل ضرب عوامل مشترک و غیر مشترک با بیشترین توان.
مثال: ب . م . م و ک . م . م دو عدد 108 و 30 را بیابید.
برای بدست آوردن تعداد مقسوم علیه های یک عدد از فرمول زیر استفاده می کنیم:
مثال: تعداد مقسوم علیه های عدد 72 را بدست آورید؟
بنابراین عدد 72 دارای 12 عدد مقسوم علیه می باشد.
تست:
1_ عدد 78 چند مقسوم علیه اول دارد؟
|
د) 4 تا |
ج) یکی |
ب) 2تا |
الف) 3 تا |
2_ کدام دسته از اعداد زیر همگی اول هستند؟
|
د) {79,89,97} |
ج) {17,19,143} |
ب) {7,1,5} |
الف) {11,13,91} |
3_ در نمودار مقابل به جای X چه عددی می توان نوشت؟
الف) 70
ب) 15
ج) 30
د) 45
4_ در
نمودار نردبانی مقابل جای a و
b چه اعدادی می توان قرار داد؟
الف ) 276 و 72
ب) 82 و 176
ج) 376 و 72
د) 82 و 172
8. در شکل مقابل داریم : محیط چرخ کوچک 6 و محیط چرخ بزرگ 8 سانتی متر است. چرخ کوچک چند دور بزند تا برای بار پنجم دو علامت مقابل هم قرار بگیرند.
الف) 20
ب) 40
ج) 30
د) 15
10. اختلاف مجموع اعداد اول کوچکتر از 30 با مجموع اعداد اول کوچکتر از 20 چند است؟
|
د)81 |
ج)52 |
ب)129 |
الف)77 |
