کسر متعارفی / نسبت و تناسب / تقسیم اعشاری

کسر ، نسبت و اعشار

در طول روز به صورت عملی از کسرهای متعارفی استفاده می کنیم بدون آنکه به صورت عمیق به مفهوم کسر توجه داشته باشیم. زمانی که یک کیک را به قسمت های مساوی تقسیم می کنیم یا یک سیب را به صورت مساوی بین دو نفر تقسیم می کنیم از مفهوم کسر استفاده کرده ایم.

معکوس یک کسر:

معکوس به معنی واژگونه و وارونه است و اگر جای صورت و مخرج یک کسر را عوض کنیم معکوس آن بدست می آید.

مثال: معکوس است.

نسبت ( ratio):

نسبت به معنی پیوستگی، ارتباط، اتصال، خویشاوندی و رابطه میان دو شخص یا دو شیء می باشد و در ریاضی ارتباط دقیق و مشخص است و به کمک اعداد بیان می شود.

تناسب (proportion):

تناسب به معنی با هم نسبت داشتن، وجود داشتن رابطه و نسبت میان دو شخص یا دو شیء می باشد و در ریاضی بیان تساوی دو نسبت را «تناسب» نامند.

آب لـــیـــــوان	1	2	3	4	5	?	?
مایـع شـربـت	2	4	6	?	?	12	14

تـیـم فوتسـال	1	2	3	4	5	?	?
بازیکن اصلی	5	10	15	?	?	30	35

شــمـاره آمار	1	2	3	4	5	6	7
نـــــــــــــــمره	17	20	14	10	13/5	16	?

با توجه به جدول بالا:

1- نسبت آب لیوان به شربت یا 1 به 2 است، یعنی میان آب لیوان به شربت یک ارتباط مشخص وجود دارد، به طوریکه در برابر هر لیوان آب 2 قاشق مایع شربت لازم است.

2- نسبت هر تیم فوتسال به تعداد بازکنان اصلی آن یا 1 به 5 است، یعنی میان تیم فوتسال و تعداد بازیکنان آن رابطه و ارتباط مشخصی وجود دارد، به طوریکه هر تیم فوتسال 5 بازیکن اصلی دارد.

3- بین شماره آمار دانش آموزان و نمره آنان ارتباط مشخص وجود ندارد و برای این موضوع نسبت مشخصی نمی توان یافت.

4- تساوی را یک تناسب می نامیم و می خوانیم : 1 به 2 مثل 4 است به 8.

تساوی را یک تناسب می نامیم و می خوانیم : 1 به 5 مثل 4 است به 20.

تسهیم به نسبت: تسهیم به معنی سهم دادن ، سهم بندی کردن ، جزو جزو کردن می باشد. و در ریاضی بررسی نسبت یک مقدار به کل را « تسهیم به نسبت » می گوییم.

مثال: در شکل زیر نسبت قسمت رنگ شده به کل شکل چقدر است؟

اعشار ، ممیز (decimal point):

ممیز به معنی تمییز دهنده و جدا کننده می باشد و در عدد اعشاری علامتی است به شکل «/» که برای جدا کردن قسمت کسری از جزء صحیح به کار می رود.

مثال: 57/3 (سه و پنجاه و هفت صدم) عدد اعشاری است که 3 جزء صحیح و 57/0 قسمت کسری آن می باشد. این دو قسمت به کمک علامت « / » از هم جدا شده اند.

نکته:

خواص تناسب:

1. طرفین وسطین کردن

2. جمع صورت ها و جمع مخرجها

3. می توانیم جای طرفین را عوض کنیم

4. می توانیم جای وسطین را عوض کنیم

5. می توانیم تناسب را معکوس کنیم

6. ترکیب نسبت در صورت

7. ترکیب نسبت در مخرج

8. تفضیل نسبت در صورت

9. تفضیل نسبت در مخرج

10. تفضیل نسبت در صورت و ترکیب نسبت در مخرج

11. اگر علی کاری را در a روز و بهرام همان کار را در b روز به تنهایی انجام دهند، این دو نفر با هم کار را در روز انجام می دهند.

مثال: علی کاری را در 10 روز و بهرام کار را 15 روز انجام می دهند، اگر هر دو با هم کار کنند، کار چند روزه تمام می شود؟

(راه تستی)

(راه منطقی)

12. اگر m لیتر اسید n% را بر روی p لیتر اسید q% بریزیم، درصد اسید حاصل از دستور زیر بدست می آید:

مثال: اگر 100 لیتر الکل ٩۶% را با 140 لیتر الکل ۷۲% مخلوط کنیم درجه الکل حاصل چقدر خواهد شد؟

حل:

13. اگر باشد ، انگاه

مثال: بین دو کسر , ٣ کسر دیگر بنویسید.

14. اگر مقسوم و مقسوم علیه تقسیمی را در عددی (بجز صفر) ضرب کنیم، خارج قسمت تغییر نمی کند، ولی با قیمانده در عدد ضرب می شود.

مثال:

خارج قسمت در هر دو تقسیم عدد 4 می باشد که تغییری نمی کند ولی باقیمانده 3 برابر شده است.

15. اگر مقسوم و مقسوم علیه تقسیمی را بر عددی (بجز صفر) تقسیم کنیم خارج قسمت تغییر نمی کند ولی باقیمانده بر آن عدد تقسیم می شود.

خارج قسمت تغییر نکرده است ولی باقیمانده بر 5 تقسیم شد.

16. بعضی از واحد های طول به صورت زیر است.

1 میکرون
1 میلی متر	ـــــ
1 سانتی متر	10 میلی متر	ـــــ
1 اینج	25/4 میلی متر	2/54 سانتی متر	0/254 متر
1 فوت	305 میلی متر	30/5 سانتی متر	0/305 متر
1 یارد	914 میلی متر	91/4 سانتی متر	0/914 متر
1 ذرع	1045 میلی متر	104/5 سانتی متر	1/045 متر
1 کلیومتر	1000000 میلی متر	100000 سانتی متر	1000 متر
1 مایل رسمی	1609000 میلی متر	160900 سانتی متر	1609 متر
1 مایل دریایی	1852000 میلی متر	185200 سانتی متر	1852 متر